蜈蚣博弈下的讨价技巧
一、约会的启示
有这样一对热恋中的情侣，不妨称为男A和女B，他们都是工作繁忙的公司主管，下班的时候他们约好去看电影。男A想看战争片，对艺术片毫无兴趣；女B则想看艺术片，对战争片没有一点兴致。不妨用定量地来分析，假设男A看战争片的满意程度为10分，而看艺术片的满意程度为2分；女B看艺术片的满意程度为10分，而看战争片的满意程度也为2分；两人在一起看电影满意程度各会提高10分。这个时候，我们可以得到如下的图。
20 12 2 2
10 10 12 20
很显然，男女都要么都去看战争片，要么都去看艺术片，这两种情况达到了该博弈的纳什均衡。这个博弈还有一个特征就是，每一个参与者都不存在优势策略，因为不管是男A或是女B，都会发现自己的最优策略取决于对方的选择。如果男A选择看战争片，那么女B选择看战争片的满意程度最高；如果男A选择看艺术片，那么女B选择看艺术片的满意程度最高。男A的策略选择亦然。另外，这个博弈的两个纳什均衡点都达到了帕累托最优的结局。当处在两个纳什均衡点时，如果男A或女B改变他们的策略选择，导致的结果是让双方都不满意。
如果时间紧迫，双方来不及联系并且事先也没有商量好，每个人只好单独决定自己去看什么电影。这个时候，很可能会出现的情况是男A去看战争片，女B去看艺术片，更糟糕的情况是，男A和女B都很尊重对方意见反而各自去看对方想看的而自己不想看的电影，这时的整体满意程度只有4分。很明显的，尽管情侣博弈中的两个纳什均衡都是有效率的，但这个博弈的不确定性却导致低效率的情况可能发生。
当然，这对恋人约会看电影事先打个电话，商量好再约定看什么，这比双方不进行沟通而私自决断要好得多。比方说，情侣双方可以随便定个规则，如双方商议，在看电影的前一天猜硬币，谁猜中了就听从谁的意见。说到猜硬币，笔者想到在历史上，曾经发生过堂堂一朝宰相录用官员竟然用抽签的方式去决定，这实在荒谬透顶。假如这对恋人都是非常较真的人，根本就不可能用猜硬币的方式，而是强行承诺，比如男A是个大男子主义者，直接告诉女B他是一定会选择战争片，完全不会去看艺术片，如果这个女主角B是个柔顺的小女人，结果当然仍是达到纳什均衡：双方都去看战争片。女B用威胁的手段亦然。
问题是，男A是大男子主义者，女B是女权主义者，双方都威胁对方不会去选择去看对方喜好的电影。这样的结果将达到次优，也就说无法达到帕累托最优的纳什均衡局面。好心办坏事，更糟糕的情况是，双方虽然在口头上严辞相对、威胁对方，但内心里反而是相互体谅对方，最后进行策略选择的时候反而都作出让步，各自选择了对方所爱看的电影。最终的结果很显然是效率最低的局面。
更进一步地分析这个问题，男女恋人任意一方在谈判（男女双方对片子选择的协商本质上就是一种讨价还价的谈判）中承诺要看什么电影，关键是其可信度取决于作出诺言的一方是否证明，除了遵守承诺以外，其他的选择并不是更痛苦。比如说，女B能够向她男朋友A证明：即使她一个人独自欣赏艺术片，也能津津有味地享受电影的乐趣，获得极大的满足感。这个时候，女B所作的一定要看艺术片的承诺就是可信的。
但是，假设男A正在追求女B，男A对女B的依赖性就会增强，他要考虑如何让女B开心来获得她的欢心。反过来说，男A向女B提出要求的能力自然就下降了。生活当中就是这样的道理，所谓“吃别人的嘴短，拿别人的手短”，不同的人在一起合作，有求于对方的人在讨价还价的谈判中一定是处于劣势的。
二、分蛋糕博弈下的先发优势及后发优势
为了更清楚地了解讨价还价的谈判，我们来看切蛋糕的故事。如果男女双方不是看电影，而是在切一块蛋糕，怎么才能保证分配的公平合理呢？很简单的一个方法，就是一方将蛋糕一切两半，另一方则选择自己分得哪一块蛋糕。不妨假设切蛋糕这种累活分配给男A，女B则在两块蛋糕中选择一块。很显然，男A在这种切蛋糕的规则下一定是努力让两块蛋糕切得尽量相同大小。然而在现实中，谁都不可能将两块蛋糕切得完全一样大，就算使用精密仪器去测量，用精密刀具去切割，这样做的成本太高，还不如用手去切。如果这个男A与其女朋友B都是个斤斤计较很小家子气的人，那么在这种规则下，男A分得的蛋糕一定是小的那块。
我们不妨假设，男A与女B都不愿意先去切这块蛋糕，于是又出现了另一种分配蛋糕的规则。不妨假设蛋糕总量为1，男A和女B各自同时报出自己希望得到的蛋糕的份额， 如4/5，8/9。他们之间约定，两人所报出的份额相加总和必须等于1，否则从新分配。从数学上可以得到，这个两人博弈的纳什均衡点会有无数个，只要两人所报出份额相加为1的组合都是均衡结局，比如男A报1/2，女B报1/2；男A报2/3，女B报1/3,依此类推。这里的问题是在于如果女B报8/9，男A报1/9，这个时候男A也只有接收这个条件，因为这是一次性博弈，如果男A不接收那么双方连一丁点的蛋糕都分不到，从理性人的角度来看这显然不存在的。
在实际生活中，除了绝对的利他主义者，或者带有其他目的的博弈参与者，显然8/9的蛋糕归某一参与者，剩余的部分仅仅1/9的蛋糕留给另一参与者的情况是很难发生。就这个例子来看，男A一定不满足于只能分到1/9的蛋糕，他一定要求再次分配。这种情况下，分蛋糕的博弈就不再是一次性博弈。
事实上，当分蛋糕博弈成为一个动态博弈时，这就形成一个讨价还价博弈的基本模型。在经济生活中，不管是日常的商品买卖还是到国际贸易乃至重大政治谈判，都存在着讨价还价的问题。比如中国加入WTO的时候，为了国家或民族利益与许多发达国家的讨价还价，进行了漫长而又艰难的谈判。我们从这个漫长过程的谈判中可以发现，讨价还价的过程实际上就是一个谈判的过程，比如发达国家首先对中国提出一个要求，中国决定是接受还是不接受，加入中国不接受，可以提出一个相反的建议，或者等待发达国家从新调整自己的要求。这样双方相继行动，轮流提出谈判要求，形成了一个多阶段的动态博弈。
我们先来看这样一个故事。在某个朝代有个破落贵族的后代A，穷困得实在没有办法过下去，不得不将家中主传的古字画拿到一个大财主B家去卖。这副字画在A看来至少值200两银子，财主B认为这副字画最多只值300两银子。这样看来，如果顺利成交，字画的成交价格将在200～300两银子之间。这个交易的过程不妨简化为这样：首先由B开价，A选择成交或还价。这个时候，如果B同意A的还价，交易顺利结束；如果B不接受，则交易结束，买卖没有做成。这是一个很简单的两阶段动态博弈的问题。
我们应该解决动态博弈问题的倒推法原理来分析这个讨价还价的过程。首先看第二轮也就是最后一轮的博弈，只要A的还价不超过300两银子，B都会选择接收还价条件。回过头来，我们再来看第一轮的博弈情况，A拒绝由B开出的任何低于300两银子的价格，这是很显然的，比如B开价290两银子购买字画，A在这一轮同意的话，只能卖得290两；如果A不接受这个价格反而在第二轮博弈提高到299两银子时，B仍然会购买这幅字画。两项比较，显然A会还价。
细心的读者可以发现，这个例子中的财主B先开价，破落贵族A后还价，结果卖方A可以获得最大收益，这正是一种后出价的“后发优势”。这一优势在这个例子中相当是分蛋糕动态博弈中最后提出条件的人几乎霸占整块蛋糕。
事实上，如果财主B懂得博弈论，他可以改变策略，要么后出价，要么是先出价但是不允许A讨价还价，如果一次性出价，A不答应，就坚决不会再继续谈判来购买A的字画。这个时候，只要B的出价略高于200两银子，A一定会将字画卖于B。因为200两银子已经超出了A的心里价位，一旦不成交，那一文钱也拿不到，只能继续受冻挨饿。
在博弈理论上，已经证明出，当谈判的多阶段博弈是单数阶段时，先开价者具有“先发优势”，而双数阶段时，后开价者具有“后动优势”。这在我们的生活中是非常常见的现象：非常急切想买到物品的买方往往要以高一些的价格购得所需之物；急切于推销的销售人员往往也是以较低的价格卖出自己所销售的商品。正是这样，富有购物经验的人买东西、逛商场时总是不紧不慢，即使内心非常想买下某种物品都不会在商场店员面前表现出来；而富有销售经验的店员们总是会劝说顾客，“这件衣服卖得很好，这是最后一件”之类的陈词滥调。